Spis treści
1. Prawdopodobieństwo 9
1.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Algebra zdarzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. σ-ciało zdarzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Aksjomatyczne określenie prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Przestrzeń probabilistyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Prawdopodobieństwo – podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Klasyczne ujęcie prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8. Prawdopodobieństwo geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9. Prawdopodobieństwo warunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10.Prawdopodobieństwo zupełne i Twierdzenie Bayesa . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11. Schemat Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Zmienne losowe jednowymiarowe 30
2.1. Pojęcie zmiennej losowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Zmienna losowa typu skokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5. Wyznaczanie dystrybuanty zmiennej losowej
skokowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Wyznaczanie funkcji rozkładu prawdopodobieństwa na podstawie dystrybuanty 34
2.7. Zmienna losowa typu ciągłego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8. Podstawowe parametry zmiennych losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9. Wybrane rozkłady zmiennych losowych wraz z ich parametrami . . . . . . . . . 44
2.9.1. Wybrane rozkłady typu skokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9.2. Wybrane rozkłady typu ciągłego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3. Dwuwymiarowa zmienna losowa 51
3.1. Określenie dwuwymiarowej zmiennej losowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Dwuwymiarowa zmienna losowa typu skokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Rozkłady brzegowe zmiennych losowych skokowych . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5. Dwymiarowa zmienna losowa typu ciągłego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6. Rozkłady brzegowe zmiennych losowych ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7. Charakterystyki dwuwymiarowej zmiennej losowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8. Niezależność zmiennych losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Twierdzenia graniczne 69
4.1. Niezależność zmiennych losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Centralne Twierdzenie Graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3. Integralne Twierdzenie Graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5. Wprowadzenie do statystyki matematycznej 75
5.1. Podstawy statystyki opisowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2. Podstawowe charakterystyki liczbowe dla próby . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3. Szeregi rodzielcze – wzmianka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6. Jednocechowe badania statytystyczne-estymacja 85
6.1. Estymacja punktowa parametrów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2. Estymacja przedziałowa parametrów
(przedziały ufności) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1. Przedział ufności dla średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2. Przedział ufności dla wariancji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.3. Przedział ufności dla wskaźnika struktury (lub dla frakcji,
lub dla procentu wyróżnionych elementów w populacji) . . . . . . . . . . 90
7. Jednocechowe badania statystyczne – weryfikacja hipotez 92
7.1. Hipotezy statystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.2. Weryfikacja hipotez statystycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.2.1. Testy parametryczne (parametryczne testy istotności) . . . . . . . . . . . 92
7.2.2. Parametryczne testy istotności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3. Nieparametryczne testy istotności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.1. Test zgodności χ2-Pearsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.2. Test zgodności λ-Kołmogorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3.3. Test zgodności λ-Kołmogorowa–Smirnowa . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8. Zależność pomiędzy badanymi cechami. Regresja liniowa 112
8.1. Zagadnienie regresji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.2. Analiza regresji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2.1. Dwuwymiarowy rozkład normalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2.2. Współczynnik korelacji liniowej z próby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2.3. Miara dopasowania równania regresji liniowej do danych . . . . . . . . . 123
9. Dodatek 125
9.1. Kwantyl zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2. Rozkład chi-kwadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.3. Rozkład t-Studenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
