Spis treści
Przedmowa 3
Wstęp 5
Rozdział 1. Proces stochastyczny 13
1.1. Definicja procesu stochastycznego 13
1.2. Rozkład prawdopodobieństwa procesu stochastycznego 16
1.3. Szereg czasowy 18
1.4. Procesy stochastyczne zespolone 20
1.5. Parametry procesu stochastycznego 21
Rozdział 2. Wyróżnione klasy i przykłady procesów stochastycznych 27
2.1. Procesy definiowane poprzez rozkłady 27
2.1.1. Proces normalny 27
2.1.2. Proces białego szumu 28
2.2. Proces drgań harmonicznych 30
2.2.1. Proces rzeczywisty drgań harmonicznych 31
2.2.2. Proces zespolony drgań harmonicznych 32
2.2.3. Proces zespolony sumy drgań harmonicznych 33
2.3. Procesy o przyrostach niezależnych 35
2.3.1. Proces Wienera 35
2.3.2. Proces Poissona 37
2.3.3. Proces sygnału telegraficznego 40
2.4. Procesy o przyrostach nieskorelowanych i ortogonalnych 44
2.5. Procesy związane z procesem liniowym 48
2.5.1. Proces liniowy 48
2.5.2. Proces średnich ruchomych 50
2.5.3. Proces autoregresji 53
2.5.4. Proces mieszany autoregresji i średnich ruchomych 56
2.6. Procesy określane analitycznie 57
Rozdział 3. Procesy stochastyczne stacjonarne 61
3.1. Określenia 61
3.2. Komentarz 64
3.3. Własności funkcji kowariancji procesów stacjonarnych w szerszym sensie 64
3.4. Przykłady procesów stacjonarnych w szerszym sensie 65
Rozdział 4. Procesy stochastyczne w przestrzeni Hilberta 71
4.1. O przestrzeni Hilberta 71
4.2. Dwa przykłady przestrzeni Hilberta 73
4.3. Ortogonalność w przestrzeniach Hilberta. Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
75
4.4. Probabilistyczna realizacja przestrzeni Hilberta 77
4.5. Przestrzeń rozpięta na procesie stochastycznym 79
4.6. Rzut prostopadły w przestrzeni Hilberta jako warunkowa wartość oczekiwana 82
Rozdział 5. Postaci spektralne funkcji kowariancji 89
5.1. Wstęp 89
5.2. Postać spektralna ciągu kowariancji 95
5.3. Postać spektralna ciągu kowariancji procesu rzeczywistego 97
5.4. Funkcja gęstości spektralnej ciągu losowego 99
5.5. Postać spektralna funkcji kowariancji procesu o czasie ciągłym 101
5.6. Funkcja gęstości spektralnej procesu o czasie ciągłym 104
5.7. Przykłady funkcji gęstości spektralnych 106
Rozdział 6. Przedstawienia spektralne procesów stochastycznych 111
6.1. Wstęp 111
6.2. Definicja całki stochastycznej 113
6.3. Postać spektralna procesów stochastycznych 117
Rozdział 7. Prognozowanie stacjonarnych ciągów losowych 121
7.1. Prognoza liniowa metodą najmniejszych kwadratów 121
7.2. Geometryczna interpretacja zagadnienia prognozy 124
7.3. Prognoza oparta na pełnej “przeszłości” ciągu losowego 125
7.4. Rozkład Wolda 128
7.5. Dwa przykłady prognozy 130
Literatura 141
